Botella de Klein en realidad virtual

En primer lugar, ¿qué es una botella de Klein? Se ha tratado en varias ocasiones en este blog, pero vamos a recordarlo. La botella de Klein es una superficie (variedad topológica de dimensión 2) compacta (cerrada y acotada), conexa (de una pieza) y no orientable, pues contiene bandas de Möbius.

Viendo la siguiente imagen, observamos que es como una “botella” que no tiene ni interior ni exterior, que posee una sola cara y sin borde. Digamos que se podría recorrer en su totalidad de forma continua, sin salto alguno.

El nombre de la misma, es debido al matemático alemán Felix Klein, quien la describió por primera vez en 1882. Como curiosidad, al parecer, el nombre original del objeto no fue el de botella de Klein (en alemán Kleinsche Flasche), sino el de superficie de Klein (en alemán Kleinsche Fläche). El traductor de la primera referencia confundió las palabras. Como la apariencia de la representación tridimensional recuerda a una botella, casi nadie se dio cuenta del error.

Ahora bien, veamos cómo podemos construir la botella de Klein en la siguiente animación:

Como sabemos la botella de Klein “vive” de manera natural en dimensión 4. Esto quiere decir que añadiendo una cuarta dimensión al espacio tridimensional, conseguimos que la botella pase a través de sí misma sin necesidad de un agujero.

Además, cabe destacar que si seccionamos la botella de Klein en dos partes a lo largo de su plano de simetría resultan dos bandas de Möbius.

Ahora que ya sabemos qué es la botella de Klein y algunas de sus propiedades matemáticas más destacadas, podemos realizar un modelo poliédrico sencillo de la misma en realidad virtual mediante el software NeoTrie.

Con unas gafas HTC Vive y los mandos creamos los vértices de los cuadrados centrales de nuestra botella de Klein, los cuales nos serán de guía para proceder con la construcción, uniendo vértices mediante aristas.

A continuación, realizamos un tubo triangular, el cual es precisamente el cuello de la botella, y girándolo un poco conseguimos introducirlo a través de una de las caras de la botella, dando lugar al “túnel” interno que se encuentra dentro de la misma.

Finalmente, unimos las aristas necesarias del conducto interior al orificio inferior de la botella, el cual es triangular. Posteriormente, con una opción del software creamos las caras de la botella y las pintamos usando el pincel y las pinturas virtuales.

Una vez construida la botella de Klein, NeoTrie nos permitió trasladar la botella al exterior del templo virtual, mediante la función de “teletransporte”. Una vez fuera de este, colocamos la botella sobre una fuente con el logo de la Universidad de Almería. Además, nos colocamos en otra posición para tomar fotos en las que aparecieran conjuntamente la botella de Klein, la fuente y el templo con el título de NeoTrie.

Por último, comentar que la experiencia fue muy enriquecedora y divertida, ya que incluso nos adentramos dentro de la botella. Gracias a NeoTrie pudimos construir un objeto matemático que a primera vista puede resultar complicado, pero con las herramientas que nos proporciona dicho software no tuvimos ninguna dificultad.

Referencias:

Wikipedia: https://es.wikipedia.org/wiki/Botella_de_Klein

Página de NeoTrie.

Autores:

María del Mar Marruecos Fernández

Juan Carlos Rivera Pérez