Botella de Klein: qué es, características y curiosidades

En topología, una rama de las matemáticas, la botella de Klein es un ejemplo de una superficie no orientable. Se trata de una variedad bidimensional para la cual un sistema no se puede definir consistentemente para determinar los vectores normales. De manera informal, es una superficie de un solo lado que, si se pasa por encima, se puede seguir hasta el origen mientras el viajero da la vuelta.

En este artículo vamos a contarte todo lo que debes saber sobre la botella de Klein, sus características y curiosidades.

Características principales

Otros objetos no orientables relacionados incluyen las tiras de Möbius y los planos de proyección verdaderos. Las tiras de Mobius son superficies limitadas, mientras que las botellas de Klein no tienen límites. En comparación, una esfera es una superficie infinitamente orientable. La botella de Klein fue descrita por primera vez en 1882 por el matemático alemán Felix Klein.

En el Museo de Ciencias de Londres se exhibe una colección de botellas de vidrio de Klein sopladas a mano, que muestra muchas variaciones sobre este tema topológico. Las botellas datan de 1995 y fueron hechas por Alan Bennett para el museo.

La botella de Klein en sí no está cruzada. Sin embargo, hay una forma de visualizar la botella de Klein contenida en cuatro dimensiones. Las autointersecciones se pueden eliminar agregando una cuarta dimensión en el espacio tridimensional. Empuje suavemente una sección de tubo que contiene la intersección fuera del espacio 3D original a lo largo de la cuarta dimensión. Una analogía útil es considerar una curva que interseca un plano. Las autointersecciones se pueden eliminar levantando las roscas del plano.

Para aclarar, digamos que tomamos el tiempo como la cuarta dimensión. Considere cómo construir un gráfico en el espacio xyzt. La figura adjunta («Evolución en el tiempo…») muestra una útil evolución de esta figura. En t = 0, la pared sale como un brote en algún lugar cerca de la «intersección». Después de que la figura se hizo más grande, la primera parte de la pared comenzó a retroceder, desapareciendo como un gato de Cheshire, pero dejando atrás su amplia sonrisa. Cuando el frente de crecimiento llega donde está el brote, no hay nada que cruzar y el crecimiento se completa sin perforar la estructura existente.

Propiedades de la botella de Klein

Un matraz de Klein es una superficie no orientable que a menudo se representa como un matraz de cuello largo con un cuello curvo que se pasa desde el interior para abrirse como base. La forma única de la botella de Klein significa que tiene una sola superficie: el interior es igual al exterior. Una botella de Klein en realidad no puede existir en un espacio euclidiano tridimensional, pero una representación de vidrio soplado puede darnos algunas ideas interesantes. Esta no es una botella de Klein real, pero ayuda a visualizar lo que imaginó el matemático alemán Felix Klein cuando se le ocurrió la idea de la botella de Klein.

Si se adjunta el símbolo a una superficie orientable, como el exterior de una esfera, mantendrá la misma orientación sin importar cómo lo mueva. La forma especial de la botella de Klein le permite deslizar el símbolo en diferentes direcciones: puede aparecer como una imagen especular de sí mismo en la misma superficie. Esta propiedad de la botella de Klein hace que sea imposible orientarla.

La botella de Klein lleva el nombre del matemático alemán Felix Klein. El trabajo de Felix Klein en matemáticas lo familiarizó mucho con las tiras de Möbius. Una tira de Möbius es una hoja de papel que se gira media vuelta y se conecta de extremo a extremo. Este giro convierte una hoja de papel ordinaria en una superficie no orientable. Felix Klein razonó que si unía dos tiras de Möbius a lo largo de los bordes, crearía un nuevo tipo de superficie con las mismas extrañas propiedades: una superficie de Klein o una botella de Klein.

La botella de Klein se describe como una superficie no orientable porque si se adjunta un símbolo a la superficie, puede deslizarse de tal manera que puede volver a la misma posición que una imagen especular.

¿Se puede hacer una botella de Klein en la vida real?

Desafortunadamente para aquellos de nosotros que queremos ver botellas de Klein reales, no se pueden construir en el espacio euclidiano tridimensional en el que vivimos. Conectar los bordes de dos tiras de Möbius para construir un matraz de Klein crea intersecciones que no existen en los modelos teóricos. El modelo real de la botella de Klein tuvo que pasar por encima de sí mismo cuando el cuello se salió por el costado. Esto nos da algo que en realidad no es una botella de Klein funcional, pero aun así es divertido de examinar.

Dado que los frascos de Klein comparten muchas propiedades extrañas con las tiras de Möbius, aquellos de nosotros que no tenemos un conocimiento profundo de las matemáticas para comprender realmente las complejidades de los frascos de Klein podemos probar las tiras de Moebius, de Felix Klein Hallazgo fascinante.

Superficie de Klein

Clifford Stoll es el hombre detrás del diseño de esta botella gigante de Klein, que mide 106 cm de alto, 62,2 cm de ancho y 163,5 cm de circunferencia. Fue construido por Kildee Scientific Glass entre 2001 y 2003.

El nombre original del objeto no era Klein Flask (alemán Kleinsche Flasche), sino Klein Surface (alemán Kleinsche Fläche). La traducción del primer objeto de referencia del alemán al inglés confundió palabras. Debido a la apariencia de la representación 3D que recuerda a una botella, casi nadie notó el error.

Si dividimos la botella de Klein en dos a lo largo de su plano de simetría, creamos dos tiras de Möbius, cada una de las cuales es una imagen especular de la otra (como si una se mirara en un espejo). Entonces, una botella de Klein es un ejemplo de una superficie no orientable, como lo es una tira de Möbius. No tiene otra función que la de representarlo. Las superficies orientables o no orientables son conceptos topológicos. Ambos son ejemplos de superficies con una sola cara, ya que no son orientables. Su magia radica en poder cubrirlo por completo de forma totalmente continua, abarcando todos los puntos que lo forman.

Espero que con esta información puedan conocer más sobre la botella de Klein y sus características.