Chai Klein: nó là gì, đặc điểm và sự tò mò

Trong cấu trúc liên kết, một nhánh của toán học, chai klein là một ví dụ về bề mặt không định hướng. Nó là một đa tạp hai chiều mà hệ thống không thể được xác định một cách nhất quán để xác định các vectơ thông thường. Về mặt không chính thức, nó là một bề mặt một mặt, nếu được vượt qua, có thể quay trở lại nguồn gốc khi người du hành quay lại.

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cho bạn biết mọi thứ bạn cần biết về chai Klein, những đặc điểm và sự tò mò của nó.

Các tính năng chính

Các vật thể không định hướng khác có liên quan bao gồm dải Mobius và mặt phẳng chiếu thực. Các dải Mobius là bề mặt giới hạn, trong khi chai Klein không có giới hạn. Để so sánh, một hình cầu là một bề mặt có thể định hướng vô hạn. Chai Klein lần đầu tiên được mô tả vào năm 1882 bởi nhà toán học người Đức Felix Klein.

Một bộ sưu tập các chai thủy tinh Klein thổi bằng tay đang được trưng bày tại Bảo tàng Khoa học ở London, cho thấy nhiều biến thể về chủ đề tô pô này. Những chai rượu có niên đại từ năm 1995 và được Alan Bennett làm cho bảo tàng.

Bản thân chai Klein không bị gạch chéo. Tuy nhiên, có một cách để hình dung chai Klein chứa trong bốn chiều. Các giao điểm tự có thể được loại bỏ bằng cách thêm chiều thứ tư trong không gian ba chiều. Đẩy nhẹ một đoạn ống có chứa phần giao nhau ra khỏi không gian 3D ban đầu dọc theo chiều thứ tư. Một phép loại suy hữu ích là xem xét một đường cong cắt một mặt phẳng. Các giao điểm tự có thể được loại bỏ bằng cách nâng các sợi chỉ ra khỏi mặt phẳng.

Để làm rõ, giả sử chúng ta coi thời gian là chiều thứ tư. Hãy xem xét cách xây dựng một đồ thị trong không gian xyzt. Hình đính kèm (“Tiến hóa theo thời gian…”) cho thấy một sự tiến hóa hữu ích của hình này. Tại t = 0, bức tường nảy mầm ở đâu đó gần “giao điểm”. Sau khi hình người lớn hơn, phần đầu tiên của bức tường bắt đầu rút đi, biến mất như một con mèo Cheshire, nhưng để lại đằng sau nụ cười rộng của anh ấy. Khi mặt trước sinh trưởng đạt đến vị trí của chồi, không có gì để vượt qua và sự phát triển hoàn tất mà không xuyên thủng cấu trúc hiện có.

Đặc tính của chai Klein

Bình Klein là một bề mặt không định hướng, thường được mô tả như một bình cổ dài với cổ cong được đưa từ bên trong để mở ra làm đế. Hình dạng độc đáo của chai Klein có nghĩa là nó chỉ có một bề mặt: bên trong bằng bên ngoài. Một chai Klein thực sự không thể tồn tại trong không gian Euclide ba chiều, nhưng một hình ảnh thổi thủy tinh có thể cung cấp cho chúng ta một số hiểu biết thú vị. Đây không phải là một chai klein thật, nhưng nó giúp hình dung những gì nhà toán học người Đức Felix Klein đã hình dung khi ông đưa ra ý tưởng cho chai Klein.

Nếu biểu tượng được gắn vào một bề mặt có thể định hướng, chẳng hạn như mặt ngoài của hình cầu, nó sẽ giữ nguyên hướng đó cho dù bạn di chuyển nó như thế nào. Hình dạng đặc biệt của chai Klein cho phép bạn trượt biểu tượng theo các hướng khác nhau: nó có thể xuất hiện như một hình ảnh phản chiếu của chính nó trên cùng một bề mặt. Tính chất này của chai Klein khiến chúng ta không thể định hướng được.

Chai Klein được đặt theo tên của nhà toán học người Đức Felix Klein. Công việc của Felix Klein trong toán học khiến ông rất quen thuộc với các dải Mobius. Dải Mobius là một tờ giấy được quay nửa vòng và được nối từ đầu đến cuối. Cách xoắn này biến một tờ giấy bình thường thành một bề mặt không định hướng được. Felix Klein lý luận rằng nếu ông ghép hai dải Mobius dọc theo các cạnh của chúng, ông sẽ tạo ra một loại bề mặt mới có cùng tính chất kỳ lạ: bề mặt Klein hoặc một chai Klein.

Chai Klein được mô tả là một bề mặt không định hướng được vì nếu một biểu tượng được gắn vào bề mặt, nó có thể trượt theo cách có thể quay trở lại vị trí giống như hình ảnh trong gương.

Một chai Klein có thể được làm trong cuộc sống thực?

Thật không may cho những người trong chúng ta, những người muốn nhìn thấy những chai Klein thực sự, chúng không thể được xây dựng trong không gian Euclid ba chiều mà chúng ta đang sống. Nối các cạnh của hai dải Mobius để tạo thành bình Klein nó tạo ra các giao điểm không tồn tại trong các mô hình lý thuyết. Mô hình thực tế của chai Klein đã phải tự lật lại khi cổ lệch sang một bên. Điều này mang lại cho chúng tôi một cái gì đó không thực sự là một chai Klein chức năng, nhưng vẫn rất thú vị khi kiểm tra.

Vì bình Klein chia sẻ nhiều đặc tính kỳ lạ với dải Mobius, những người trong chúng ta không có hiểu biết sâu về toán học để thực sự hiểu được sự phức tạp của bình Klein có thể thử tìm dải Moebius hấp dẫn của Felix Klein.

Bề mặt Klein

Clifford Stoll là người đứng sau thiết kế chai Klein khổng lồ này, có kích thước cao 106cm, rộng 62,2cm và chu vi 163,5cm. Nó được xây dựng bởi Kildee Scientific Glass từ năm 2001 đến năm 2003.

Tên ban đầu của vật thể không phải là Klein Flask (Đức Kleinsche Flasche), mà là Klein Surface (Đức Kleinsche Fläche). Bản dịch của đối tượng tham chiếu đầu tiên từ tiếng Đức sang tiếng Anh làm nhầm lẫn các từ. Do sự xuất hiện của hình ảnh 3D gợi nhớ đến một cái chai, nên hầu như không ai nhận ra lỗi này.

Nếu chúng ta chia chai Klein ra làm đôi dọc theo mặt phẳng đối xứng của nó, chúng ta sẽ tạo ra hai dải Mobius, mỗi dải là hình ảnh phản chiếu của cái kia (như thể người ta đang soi gương). Sau đó, một chai Klein là một ví dụ về bề mặt không định hướng, như là một dải Mobius. Nó không có chức năng nào khác ngoài việc đại diện cho nó. Bề mặt định hướng hoặc không định hướng là các khái niệm tôpô. Cả hai đều là ví dụ về các bề mặt một mặt, vì chúng không thể định hướng được. Sự kỳ diệu của nó nằm ở chỗ có thể bao phủ nó một cách hoàn toàn liên tục, bao phủ tất cả những điểm hình thành nên nó.

Tôi hy vọng rằng với những thông tin này bạn có thể hiểu thêm về chai Klein và các đặc điểm của nó.