Einstein có thể vẽ hoặc tưởng tượng một hình 4 chiều?

Trong một bài giảng online, một giáo sư có nói rằng Einstein có thể vẽ hoặc tưởng tượng một hình 4 chiều. Làm sao người ta có thể thực hiện được điều đó?

Sai toét rồi. Nút thắt này được vẽ trên một màn hình phẳng, có thể là của điện thoại hoặc máy tính của bạn, nên rõ ràng đây là một hình 2 chiều. Tuy nhiên, nó đưa ra những thông tin về hình ảnh trực quan giúp ta tưởng tượng ra hình dạng 3D đầy đủ của nó. (Thực tế là, mỗi con mắt của chúng ta đều quan sát theo không gian hai chiều, và bộ não của chúng ta ghép hai hình ảnh ấy lại để tạo ra một mô hình về thế giới ba chiều xung quanh chúng ta. Nhưng mô hình ấy chỉ tồn tại trong suy nghĩ của chúng ta, chứ không phải trong những hình ảnh ảnh sáng đầy mầu sắc được truyền tới võng mạc của chúng ta).

Theo cách tương tự, chúng ta có thể vẽ một hình 3 chiều bằng cách chiếu nó vào không gian hai chiều và hoàn thiện mô hình bằng cách tưởng tượng. Chúng ta sẽ tạo ra những mô hình 3 chiều về những hình dạng 4 chiều và huấn luyện bộ não cách tưởng tượng chúng. Thực tế là, chúng ta còn có thể vẽ những mô hình 3 chiều này theo những mô hình 2 chiều như trước đây, và để não bộ của chúng ta thực hiện những bước nhảy hai chiều.

Bạn cần phải quen với vài thứ trước đó đã, nhưng đâu phải là chuyện không thể nhỉ. Nhiều người đã luyện được trực giác khá tốt với hình bốn chiều đó chứ. Tôi rất khuyến khích mọi người hãy phớt lờ bình luận về việc Einstein có một vài khả năng đặc biệt trong trường hợp này đi (câu hỏi ban đầu nhắc tới một bài nói chuyện trong đó giáo sư đã nhắc tới việc Einstein có thể nhìn trong không gian 4 chiều). Ông là một nhà toán học, nhà vật lý siêu phàm cùng với trực giác quái lạ và những khả năng tuyệt vời về mặt hàn lâm. Nhưng ông không có cơ quan đặc biệt nào trong não bộ giúp ông vẽ hoặc nhìn trong không gian bốn chiều cả.

Hai phương pháp thông dụng để hình dung ra chiều thứ tư ấy là sử dụng màu sắc và thời gian. Đối với phương pháp màu sắc, chúng ta vẽ một hình 3D như thường nhưng kèm theo việc tô màu sáng hoặc tối cho nó tùy thuộc vào tọa độ thứ tư. Những điểm tối nằm “dưới đáy” của chiều đó, và những điểm sáng được coi là “nằm trên đỉnh”. Hai miền của hình đó có thể chiếm cùng một vị trí trong không gian 3D nhưng lại có những màu sắc khác nhau, nên thực ra chúng tách biệt trong không gian 4 chiều.

Để hiểu điều này, hãy bắt đầu với một ví dụ đơn giản với ít chiều không gian hơn nhé. Đây là một hình hai chiều, một hình số 8 làm từ dải băng.

Giờ giả sử rằng chúng ta muốn biểu diễn một hình 3d tương tự, nhưng dải băng lại không cắt chính nó tại tâm nữa. Thay vào đó, nó bị lôi “ra khỏi mặt giấy” để nằm trên phần còn lại. Chúng ta có thể dễ dàng làm việc này trong không gian ba chiều, nhưng hãy thử dùng không gian hai chiều kèm với màu sắc xem:

Chúng ta sử dụng màu xanh dương biểu diễn chiều không gian bổ sung này. Hình dáng vật lý của chính nó vẫn là hai chiều! Hai dải băng không khác biệt về mặt không gian mà chỉ khác về màu sắc. Dải băng vẫn vẫy và khi đến gần tâm, nó dần dần được “bay lên trong không gian màu xanh”, vì thế ngay tại tâm thì nó sẽ nằm lên trên dải băng đen ở dưới (trong chiều không gian xanh đó). Sau đó, nó trở lại với màu đen.

Lưu ý rằng chúng ta không thể hiển thị phần dải đen cùng với dải xanh bởi chúng ta không thể sử dụng hai màu khác nhau, xanh và đen, đối với cùng một vùng trong mô hình 2 chiều. Ở đây ta cần phải tưởng tượng một chút để hiểu rằng có hai dải băng cắt nhau tại tâm, một dải màu đen (ở “đáy” của không gian màu xanh) và một dải màu xanh, ở đỉnh.

Và điều đó là vừa đủ để chiều màu sắc ấy tạo ra một cảm giác hình ảnh trực quan khá thú vị về chiều thứ ba. Nhưng hãy nhớ rằng, hình dạng ở đây không phải là không gian 3d, đó là các chiều “ngang+dọc+màu sắc”.

Vì thế giờ đây, chúng ta có thể thực hiện điều tương tự, bắt đầu với một hình dạng thuần 3d và tô màu để thêm chiều thứ tư vào chính nó. (Thực tế thì, sử dụng hai màu sắc khác nhau như đỏ với xanh dương, chúng ta có thể tưởng tượng ra NĂM chiều một cách khá hiệu quả).

Hãy xét một hình khá nổi tiếng, chai Kleain, một cái chai chui vào chính bản thân nó để tạo ra một hình dạng chẳng có trong cũng chẳng có ngoài. Bạn có thể có được hình này bằng cách dán hai dải Möbius dọc theo cạnh của chúng.

Thật buồn là chúng ta gần như không thể đặt một chai Klein vào không gian ba chiều, bởi nó không thực sự cắt qua chính mình. Cũng như dải băng phía trên, mối giao nhau lúc nó gập vào chính nó là để cho phép hai ống có thể hoàn toàn tách biệt với nhau.

Nhưng việc minh họa này có thể làm được một cách dễ dàng với màu sắc, đúng không? Ví dụ nè:

Cách này tương tự với việc chúng ta đã làm với dải băng phía trên. Ống sẽ chuyển thành một vùng khác trong không gian màu sắc khi nó lặp vào chính nó, và vào lúc nó cắt chính bản thân mình thì màu sắc đã rất khác rồi (xanh lá và trắng). Chai Klein có thể được vẽ một cách dễ dàng trong không gian 4
chiều mà không hề có sự giao cắt nào với chính nó.

Khi bạn hiểu được điều này, việc mô phỏng và thậm chí là khám phá hay chứng minh những thứ phức tạp về các chiều không gian cao hơn sẽ là khá dễ dàng. Ví dụ, một nút thắc trong không gian ba chiều không thể được cởi nút chỉ bằng cách dịch chuyển nó theo một cách nào đó:

Nhưng bạn có thấy việc tháo nút trong không gian 4 chiều dễ đến mức nào không? Khi nào bạn cần đưa một phần nút thắt sang một phần khác, chỉ cần dần chuyển màu sắc của nó từ da cam thành xanh dương, và giờ nó có thể tự do đi “qua” bất kỳ phần màu cam nào bởi nó tách biệt về “màu sắc”. Sau đó, cứ chuyển nó về màu cam và cứ di chuyển tiếp cho tới khi nút thắt hoàn toàn được tháo ra. Không có nút thắt 1 chiều nào trong không gian 4 chiều (nhưng có những nút thắt 2 chiều đấy).

Thấy không? Đâu khó lắm nhỉ. Chẳng cần phải đến mức Einstein đâu.

Vũ Cường ‎/ Quora Việt Nam